웅덩이

Matrix

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix}

m-by-n matrix, 또는 m행(Row) n열(Column) 의 행렬이라고 부른다.

여기서 하나의 행 만으로 이루어진 행렬을 Row vectors,
한 열로만 이루어진 행렬을 Column vectors 라고 부른다.

Transpose

(A^T)_{ij} = A_{ji}

각 행과 열을 뒤집은 행렬을 전치행렬 이라고 부른다.

Square Matrix

행과 열의 개수가 같은 행렬을 의미한다.

Identity Matrix

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} , \; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

위와 같이 Square Matrix인데 대각선만 1이고, 나머지는 0으로 채워진 행렬을 의미한다.

AI = IA = A

이 행렬의 가장 큰 특징은 행렬 A에 Identity Matrix를 곱하면 다시 행렬 A가 나온다는 것이다.

Scalar Multiplication & Addition

백터에 스칼라 곱을 하거나, 백터간 합이나 차를 구할 때는 이전 포스트에서 벡터의 연산을 했을 때와 동일하게 각 원소에 대해 연산을 진행하면 된다.

Matrix Multiplication

231023-222141

행렬간 곱 연산은 위의 이미지와 같이 계산된다.
여기서 주의할 점은 앞의 행렬의 열 의 개수와 뒤의 행렬의 행 의 개수가 일치해야 한다는 점이다.

Transformations

Basis

변환에 앞서 기저에 대해 알 필요가 있다.
선형 독립인 벡터들이 공간을 생성(span)할 때, 그 벡터의 집합을 기저(basis)라고 한다.

선형 독립 (Linear Independent)

N차원에서 어떤 하나의 벡터가 나머지 N-1개의 벡터의 선형 결합으로 표현할 수 없는 경우, N개의 벡터들이 선형 독립이라고 한다.
즉, 벡터간 의존성이 없어야 한다.

벡터가 공간을 생성한다는 의미를 잘 모를 수 있는데, 예로 들어보자.

231023-230449

v는 한 평면위의 벡터이다.
이 상태에서 $v_1, \; v_2$ 의 값을 [- $\infty$ , $\infty$ ] 범위로 임의 조정한다고 가정해보자.
그럼 v는 어떤 범위의 종점 좌표를 가질 수 있을까?
바로 벡터 a, b가 속한 평면의 모든 좌표를 가질 수 있을 것이다.

즉, 평행하지 않은 벡터의 선형 결합으로 공간을 생성할 수 있는 것이다.

그렇다면 두 벡터가 평행하지 않는다는 조건도 이해가 될 것이다.
만약 두 벡터가 평행하다, 즉, 하나의 벡터로 다른 벡터를 표현할 수 있다, 다른 말로 두 벡터가 선형 의존이라면, v는 직선상에만 존재할 수 있기 때문이다.

그럼 다시 basis 얘기로 돌아와서, basis의 선형 결합으로 basis가 span하는 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있다는 것을 이해했다.
이 때 성립하는 증명이 있다.

같은 basis의 선형결합으로 표현되는 벡터는 표현 방법이 1개로 유일하다.

위의 증명된 내용 덕분에, basis의 선형 결합 시 사용하는 weight를 좌표로써 활용할 수 있는 것이다.
그렇기에 basis를 바꾼다는 건 좌표값을 바꾸는 것일 뿐, 벡터 그 자체를 바꾸는게 아니다.

Linear Map

선형 사상이란 벡터의 기저를 바꿀 때, 즉 벡터 공간이 바뀔 때 변형시에 선형성이 유지되는 변환 함수( $F$ ) 를 말한다.

예로 들어 아래는 선형 사상이다.
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하지만, 이 경우는 선형 사상이 아니다.
231023-232104

음? 그런데 이게 기저가 바뀌는거랑 무슨 상관이냐고?
이제 기저를 선형 사상(변환 함수)에 대입해보며 알아보자.

\widehat{\textrm{v}} = F\textrm{v} \\ {} \\ \begin{pmatrix} \widehat{v_1} \\ \widehat{v_2} \\ \widehat{v_3} \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ f_{21} & f_{22} & f_{23} \\ f_{31} & f_{32} & f_{33} \\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}

이해를 돕기 위해 $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ 을 $x$ , $y$ , $z$ 라고 생각해보자.

이제 ( $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ ) 대신에 (1, 0, 0) 을 대입해보자.
이 때, (1, 0, 0)은 x축을 가리키는 기저의 원소이다.

\begin{pmatrix} \widehat{v_1} \\ \widehat{v_2} \\ \widehat{v_3} \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ f_{21} & f_{22} & f_{23} \\ f_{31} & f_{32} & f_{33} \\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_{11} \\ f_{21} \\ f_{31} \end{pmatrix}

즉, 선형 사상( $F$ ) 로 인해 기저 x(1, 0, 0)는 $(f_{11}, \; f_{21}, \; f_{31})^T$ 로 변환되었다.

여기서 알 수 있는 것은 선형 사상, Linear Function $F$ 의 i번째 열 벡터는 i번째 축의 기저벡터가 어디로 대응되는가를 알려준다.
또한, 위의 변환 과정은 선형성이 유지된다.

참고로 선형성이 유지되는 특성 덕분에 여러 선형 사상을 한 번에 처리하는 것 또한 가능해진다.

A(B(C(D(x)))) = ABCDx = $\textrm{x}^TD^TC^TB^TA^T$

2D Linear Transformations

우선 회전을 살펴보자.

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선형 사상을 이용한 기저의 변환을 어느정도 이해했다면 이제 변형식이 왜 이렇게 생겼는지도 이해할 수 있을 것이다.

예로 들어 (1,0) 즉 x축의 기저벡터를 $\theta$ 만큼 회전시킨 좌표는 ( $cos \theta$ , $sin \theta$ )가 되는데, 이는 위에서 언급한 "선형 사상, Linear Function $F$ 의 i번째 열 벡터는 i번째 축의 기저벡터가 어디로 대응되는가를 알려준다" 와 완벽히 일치한다.